本文研究分析计算机数学系统 (CAS)在数学课堂上的兴起、衰落和复兴的过程。了解计算数学CAS缘何帮助革新数学教育的。从激动人心的数学教学的技术革新开始，到实现这一愿景所经历的艰难，最后说明了计算机数学取得了巨大进步，从而实现现代数学的高效学习的愿景梦想成为现实。

1987年，美国国家科学基金会(NSF)首次推动了罗斯-霍尔曼理工学院(RHIT)将计算机引入课堂，这开创了将计算机数学系统作为数学“教学、学习以及实践的首开先河的伟大目标。1988年秋天，学院在那里开设了第一批CAS计算机数学课程，到1991年，全校要求工程和理科专业学生必修的五门数学课程都必要要采用计算机数学方式来教学。到1995年，该校实行笔记本电脑方式，从而让计算机数学工具使用变得更加便利。

20世纪80年代中后期的微积分改革运动中，许多先行者建立了数学实验室，在实验室里就可以可以运行计算机数学CAS系统，从而有机会这种全新的数学技术纳入课堂当中。与此同时，一些数学教育研究者并阐述了一种使用这种技术的方法。在一个“二次测序技能与概念”中认为利用计算机数学第一步可以表述呈现概念，然后再强调概念相关的操作技能。一旦理解了这个概念，就可以在计算机数学中探索所需的技能，最后掌握工作实践环节所需的任何数学知识。

听起来相当不错，大学的教师在教授数学中，强调学生对材料中的数学概念理解，要让学生更多地去思考而不是练习计算，这对于高数学习尤其重要。这个过程学生们实际上是在学习和吸收数学概念，而不是在他们认为没有目的数学操作计算中挣扎。那么这当中是哪里出了问题，为什么创新数学的愿景会消失? 20世纪90年代中期，那时差不多所有可用的计算数学系统CAS工具都是采用命令行方式驱动的，唯一的例外是一个叫Derive的数学系统，但该系统在2007年就退出了市场。那些早期的数学系统要求学生在使用之前，必须要花时间先努力学习这个工具。最初，将CAS引入课堂的先行者的付出，让学生相信学习计算机数学系统CAS的语言是值得的。但这种方法并没有得到那些支持行业先行者实现CAS计算数学愿景人的认可。但计算机数学系统CAS作为数学教学工具的潜力开始得到了学界的认可。

广泛使用计算数学系统CAS作为工作工具的另一个困难是，实验室环境对使用过程的限制。如果学生将CAS作为一种实验活动来体验，那么它就不能融入课程，也不能成为学生的第一帮助工具。强制性的实验练习被当成一个课程负担，超出了传统课程特有的标准实践活动。学生们很聪明地看到了这一点，他们反感这种看似是增加而不是减少他们学习任务的技术。学生们关心考试的内容，如果考试是用纸笔完成的，那么学生就认为这是必须要学习的重要技能。

一项新技术要站稳脚跟，必须具备三个条件:适用性、可用性和方便易用性。新技术一定是对现有方式的改进。它必须随时可用且易于实施落地。

当然，能够处理符号并几乎能够完成大学前几年所有数学运算的计算设备，必然会被视为有用的工具。它在工业和商业中的应用证明了它在做数学方面的有用性。它在大学数学、理工科学以及工程类课程中的出现证明了CAS在教学和学习数学方面的有用性。

笔记本电脑保证了CAS可用性。而CAS系统的易用性是另一回事，在90年代早期的时候，罗斯霍曼理工学院已经使用Maple作为一个标准的计算机代数系统CAS。课程首先从微积分序列开始，Maple提供了一个14页的语法指南，这样可以帮助学生掌握足够的Maple用法，同时也作为一份实际的课程材料。第一学期的前三周被用来复习数学课程中的内容。诸如解方程、绘图、求逆函数等，这些内容用作掌握Maple的培训内容。，那时从一开始就发现，同时教授语法和新的数学概念是行不通的。到第二学期结束时，所有的传统课程主题都包含在了CAS系统了，配置一套好用高效的计算机代数系统基本上弥补了第一学期学习Maple软件的成本。现在随着Maple软件的不断迭代，新版本的Maple变得越来越容易使用，从而让这种情况大为改善。

但是注意，学习使用计算机代数系统，并不是要将全部的精力都用于掌握其命令语法。在罗斯霍曼理工学院看到的现象是，学生们在与僵化的计算机语言结构进行抗争。例如，当学生们想要“求解”导数、积分、极限，而不是求它们的值时，计算机代数系统对这些动作有特定的指令，由于语言上的马虎而误用指令可能会产生让学生措手不及的错误。使得许多学生会故意避免去选择学习计算机代数系统的课程。

但有些技术方法确实在过去得到用户的认可。20世纪50年代的高中数学包括学习如何使用对数作为乘法和除法的工具。在20世纪60年代早期，如果不知道如何使用计算尺子，就不可能完成化学和物理课程，以及相关的实验。到20世纪70年代初，手持式计算器开始作为一种工具出现。事实上，到20世纪70年代中期，计算器可以通过输入一组数据，计算出这些数据的和、以及平方和，并可以对数据进行最小二乘拟合所需的乘积和，这也彻底革新了传统统计实验室中使用的方法。即使是在一群数学家中，也很少有人还能凭手工来求一个数的平方根。

对数法被认为不再是一种可行的乘法和除法工具，这是由手持计算器出现所带来的结果。随着个人电脑的出现，计算尺也从大学教室里消失了。最小二乘计算被现代软件简化了，没有人会手动去求平方根。关键在于，节省工作、易于使用、随时可用的技术将取代旧的、效率较低的技术。在现代工业中例如，在家具厂，板材是用电动刨床刨平的，而不是用手持式拼缝机。熟练木匠在学徒期中掌握了制作木板所需的技能，这是一段漫长而严格的学徒期。在学术“工厂”中延续这样一个平行的过程是没有意义的。像计算机代数系统这样可以用即时结果取代容易出错的单调乏味的手工计算技术，必须允许它取代速度较慢且更耗费人力的方法。

学生并不应该为了达到专业的水平而屈从于他们的导师，换句话说，在学术上，个体发生学不一定能概括归结出系统发生学。系统发生学是一种生物学理论，认为动物在从胚胎到成年的发育过程中，经历了与祖先相似或代表祖先的某些连续行为特征的阶段。很大程度上这是一个不可信的进化理论，但这个理论似乎在数学课程中得以保存了下来，普遍希望学生们吸收这个理论。因此不必让每一个需要学习数学知识的学生都参加刻苦的传统训练课程来获得该学科的高级学位或学分。而要打破传统数学课强加给学生的束缚的唯一途径是采用计算机代数系统CAS的计算能力作为数学计算工具。事实上，庆幸Maple公司正在带头倡导在各科数学教育中开设 “以计算机为基础”的高等数学或工程数学课程。

方便易用功能强大的软件可以成为STEM教育(科学、技术、工程和数学)课程的一个基础。为什么会发现这一点，一个例子来自作者早期在罗斯霍曼理工学院的课堂上与Maple的经历。傅立叶级数(本质上是近似一个函数的正弦波的和)是必修课程的一部分，和中的系数是某些定积分的值。在Maple出现之前，人们观察到学生们会写一个求和符号，执行一些积分(通常是错误的)，然后提交一个毫无意义的符号组合。在引入Maple进入课堂之后，学生可以绘制函数和他们提出的傅立叶近似，他们的学习行为改变了。他们会带来傅里叶变幻的图表，显示傅里叶的近似值并不能代表函数，这时学生意识到自己犯了一个错误。他们现在的问题是:根据这些图表，我能否帮助他们确定出了具体的错误点。

显然，Maple帮助学生对傅里叶级数有了重要的概念理解。在下图1中，将导数定义为差商的极限值应用于多项式。请注意教学上的“二次排序”，即Maple首先提供最终结果，然后用于实现推导的代数步骤。根据图1，将多项式作为函数输入，并通过Maple的自然数学符号实现导数的定义，即差商的极限，就像教科书中出现的那样。通过上下文菜单(可以从中选择选项的弹出式菜单)或通过键盘输入直接进行评估。导数也可以用牛顿和莱布尼茨的符号求出来的，只是为了验证这些符号的意思和定义的意思是完全一致的。最后，计算代数步骤主要通过上下文菜单系统在Maple中实现。

从作者的经验来看，另一个例子与教定积分作为黎曼求和的极限有关。黎曼求和是函数值和小增量的乘积的和，这个和代表了函数图像下的近似面积。在手持式计算器出现之前，试图通过手算、在黑板上写一列一列的数字等方式来教授这个概念是完全没有用的。这种方法并没有吸引学生的注意力超过几分钟，而且这个概念从来没有付诸实践。随着手持计算器的出现，学生们似乎可以通过所有的算术得出一个有意义的近似值。不幸的是，即使每个学生都有同一个计算器，也不可能强迫30个学生均匀而准确地按下计算器的所有正确键。由于没有按键记录，即使是这些实验也是一个彻底的失败。

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然而，Maple中的工具使这个任务变得透明。首先，考虑图2中黎曼求和的图像。所显示的图形显示了函数图形下的面积是如何通过曲线下等距矩形的面积之和来求近似的，并且非常快速地让用户看到不同分区的效果，以及形成总和的不同策略。

在图2中，黎曼求和已应用于区间上的函数。默认分区是十个相等的子区间，默认和是一个中点和。曲线下的实际面积和近似面积在图下给出。当选择不同的参数时，图形及其下面显示的值将被更新。这样的界面可以让学生探索黎曼和的概念，而不需要进行计算或实现计算，更不用说绘制相应的图形了。

图2中的图形是由RiemannSum命令绘制的，该命令出现在图2中的导师菜单窗口的底部。该命令还将返回实际的黎曼和，即使它具有不确定数量的子区间。

图3中展示了一个范例，其中还应用了value命令来获得和的封闭形式，从这种形式可以确定趋近于无穷时的极限。这包括定积分的定义，并允许学生看到定义的过程。

图4再次说明了定积分的定义，这次是用Maple的“点击式方法”不包括任何语法技术。被积函数通过上下文(弹出式)菜单定义为一个函数。极限和求和运算符作为调色板模板实现。黎曼左和极限的求值是通过上下文菜单。图3中的数学正是教科书中用来表达相同概念的数学。Maple可以使用相同的符号，并且该符号与底层计算引擎相连，这是一个重要的观察结果。

当然，黎曼和（黎曼求和）本身，以及它的封闭形式等价，可以用这种自然的符号得到，而不需要了解掌握专门的语法。如图5所示，这些附加步骤是通过上下文菜单实现的，只需在表达式本身上启动弹出式菜单系统。图5中的黎曼和是从软件左侧拖盘式面板模板构造的，并通过调用上下文菜单或键盘操作从而构成一个封闭形式的表达式。这种转换需要一些代数技巧。在传统的课堂上，这一步必须投入大量的时间和精力。当学生们已经足够熟练地用纸笔计算黎曼和的时候，这个过程与定积分的定义之间的联系就消失了。手工操作计算过程会干扰对更高层次概念的吸收理解，而这些操作应该服务于更高层次的概念。如果这些操作的工具本身也同样难以掌握学习，那将是解决一个困难后又要面对另一个困难的周而复始。像Maple这样的工具可以轻松而自然地取代这些繁琐的操作，而这对掌握连续理解掌握复杂抽象数学概念的很重要。

可以举出无数的例子来支持这样的论点，即CAS的技术工具不仅必须稳固且易于获得，而且还必须易于应用。还可以在我们的网站上找到很多示例，说明Maple中的工具如何满足鲁棒性和易用性的要求。在这一页，你可以找到记录的演示，其中微积分、微分方程和线性代数的标准问题是用点击式范例解决的。实际上，这里列出了150多个这样的重要示例，并使用不需要使用单个命令的内置工具进行讲述。

改进后的新工具技术已得到市场的广泛采纳，甚至在数学中也发生过这种情况，对数表、滑尺让位于计算器，然后是计算机。但是真正巨大的进步是，计算机代数系统成为教学、学习和研究数学的首选工具，这虽还没有完全实现，很大程度上是因为学习曲线太陡了。

正如图1-5和网站的教学概念页面上的例子所示，在Maple中可以实现重要的数学探索并用数学解决问题，而无需首先在学习如何使用该工具方面花费大量的成本。

这种简单性使得二次排序概念与技术的策略得以实现。因为Maple简单易用，所以不需要长时间的积累来掌握新的数学概念。通过使用Maple作为数学教学与学习工具，可以研究、体验、操作和学习相关学科中内涵的数学思想，而无需首先掌握一套工具的操作技能。相关算法的步骤过程可以在Maple中实现，而不需要事先掌握工具的操作技能。当学生第一次掌握概念并看到细节如何与这个“大局整体”相联系起来时，掌握相关的手动操作技能就会更加高效。

以上就是计算数学系统CAS为何能帮助教授数学与学习的详细阐述，相信老师与学生详读了以后，会对使用Maple这样的CAS系统软件所能带来的益处会更加的清楚。如果有疑问或是相关需求，可以随时联络我们。